確率：コインの表裏

1 コイン投げで表が出る確率、裏が出る確率
2 連続して表か裏が出る確率
3 表か裏が連続して出た後はどちらが出やすい？
4 人はコイン投げの次の結果を予測できるか？
- 4.1 実験
- 4.2 結果
5 まとめ

コイン投げで表が出る確率、裏が出る確率

一般的には…

コインに仕掛けが無い場合は一般的に言われる様に、表・裏が出るのは半々です。

確率論的に表現すれば表が出る事象Aの確率Pr(A)は0.5、裏が出る事象Bの確率Pr(B)も0.5という感じでしょうか。（あまり自信はありませんが…）

これは正しいでしょう。

ただ、個人的にはもう少し色々な観点から調べてみたいと思います。

実験方法

実際にコインを投げて記録を…と言うのは少し時間が掛かりすぎるのでプログラム的に表・裏を出す様にします。

Random random = new Random();

//Rondom::NextDouble()は0.0～1.0までの一様乱数を生成
if (random.NextDouble() > 0.5)
{
   //  0.5～1.0の場合は表とする
}
else
{
   // 0.0～0.5の場合は裏とする
}

プログラムの乱数生成器を使えば、膨大の数の試行が可能になります。

実験結果

試行回数ごとの表・裏が出た回数・割合は下記の様になりました。

試行回数	表		裏
試行回数	回数	割合（％）	回数	割合（％）
1,000	524	52.4	476	47.6
10,000	5,071	50.71	4,929	49.29
100,000	50,317	50.317	49,683	49.683
1,000,000	499,115	49.912	500,885	50.089

乱数なので試行毎に数値は変化しますが、おおよそ下記の事が言えるでしょう。

どの試行回数でもおおよそ表・裏半々
試行回数が少ないとどちらかにやや偏るが、試行回数が多いとほぼどちらも50％に近づく
ピッタリ半々になるという事は稀

まぁ、この辺りは想定通りです。

連続して表か裏が出る確率

コインを投げ続けると、表が連続して出たり、裏が連続して出たりする場合があります。

100万回の試行データから、連続してN回表が出る回数、裏が出る回数をカウントしてみると下記の様になります。

連続出現回数	表	裏	合算	補足
2	62,361	62,609	124,970
3	31,563	31,411	62,974	およそ1/2
4	15,535	15,654	31,189	およそ1/2
5	7,716	7,862	15,578	およそ1/2
6	3,937	3,945	7,882	およそ1/2
7	1,896	2,062	3,958	およそ1/2
8	921	966	1,887	およそ1/2
9	476	475	951	およそ1/2
10	250	231	481	およそ1/2

何となく規則性がありそうです。

例えば「２回だけ」表が連続して出る場合は、表が出る確率が0.5なので二回連続なら0.5×0.5=0.25…と計算してしまいそうですが、実際には下記の様になります。

「２回だけ」表が連続するという事は、その前後は必ず裏である必要があるので、

裏⇒表⇒表⇒裏

というパターンを考える必要があります。そのため、

裏が出る確率ｘ表が出る確率ｘ表が出る確率ｘ裏が出る確率
＝0.5 x 0.5 x 0.5 x 0.5
=0.0625

という事になります。

試行回数は、100万回なので、1,000,000 x 0.0625 = 62,500回出現すると予測されるので、改めてデータを見ると確かに近い値になっています。

「３回だけ連続する回数」が「２回だけ連続する回数」の約半分になっているのも、以下の様なパターンになるので、確率が0.5倍になるためですね。

裏⇒表⇒表⇒表⇒裏

表か裏が連続して出た後はどちらが出やすい？

…⇒表⇒表⇒表⇒表⇒表⇒表⇒？

表が連続して出現した後、その次は表か裏かどちらが出やすいでしょうか？

自分は『表がこれだけ連続したのなら、バランスをとるために裏が出やすいのでは？』とついつい考えてしまいがちになりますが…。

傾向をチェック

こちらも100万回の試行データをチェックすると、下記の様になりました。

表が N回連続した後	表がでる回数（割合）	裏がでる回数（割合）
2	31,216　( 50.057 %)	31,145　( 49.943 %)
3	15,661　( 49.620 %)	15,901　( 50.380 %)
4	7,749　( 49.881 %)	7,786　( 50.119 %)
5	3,798　( 49.222 %)	3,918　( 50.778 %)
6	1,960　( 49.784 %)	1,977　( 50.216 %)
7	999　( 52.690 %)	897　( 47.310 %)
8	473　( 51.357 %)	448　( 48.643 %)

結果

表がいくら連続しても、その次は表が出る割合も、裏が出る割合もほぼ半々です。

まぁ、コイン投げが前の事象（投げた結果）に関わらず、表が出る確率も、表が出る確率も0.5なので、当然と言えば当然ですが…。

考察

人はどうしても経験や知識から『表（裏）が連続してN回続いた』という事に、何かの意図・サインを感じてしまうものですが、確率的には、

⇒表⇒表⇒表⇒表⇒表⇒表⇒

も

⇒裏⇒表⇒裏⇒裏⇒表⇒裏⇒

も同じ(0.5)^Nの確率で起きる事象でしかありません。

それが分かっていても、連続した結果を見るとついつい『おっ！？』と思ってしまいます。

人はコイン投げの次の結果を予測できるか？

過去のコイン投げの結果を参考にしながら、次のコイン投げの結果を予想したら当たるでしょうか？

当たり続けるという事はほぼないのは自明なのですが、予測して当たる確率が６０％とか７０％などの数字を出せるでしょうか？

実験

こちらも、ランダムに生成した表・裏のデータについて、表裏を予測してその正解不正解をデータにしてみます。

しかしながら、さすがに100万回という数字は無理なので、1,000回でやってみました。

結果

全体の結果

コインの表裏予想の結果は下記の様になりました。

予測総数	正解数（割合）	不正解数（割合）
1,000	508 (50.8%)	492 (49.2%)

と正解率はほぼ５０％となり、確率５０％の事象を読み切ることも、逆に当たらなすぎるという事もありませんでした…^^;

サンプル数が少ない場合

しかし、１００回ごとに正解率を見てみると下記の様になります。

範囲	正解数	不正解数
0 ～ 100回	48	52
100 ～ 200回	43	57
200 ～ 300回	63	37
300 ～ 400回	48	52
400 ～ 500回	52	48
500 ～ 600回	51	49
600 ～ 700回	53	47
700 ～ 800回	50	50
800 ～ 900回	42	58
900 ～ 1000回	58	42